profile
Опубликовано 1 год назад по предмету Алгебра от TimeToKnow

Докажите равенство
cos frac{ pi }{7} cos frac{4 pi }{7} cos frac{5 pi }{7} = frac{1}{8}

  1. Ответ
    Ответ дан Матов
    Нестандартное доказательство 
    Как  известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если x_{1};x_{2};x_{3}\
x_{1}*x_{2}*x_{3}=frac{a}{d}
    где уравнение 
    ax^3+bx^2+cx+d=0
    то есть нам надо что бы числа x_{1}=cosfrac{pi}{7}\
x_{2}=cosfrac{4pi}{7}\
x_{3}=cosfrac{5pi}{7}  были корнями  уравнения ! 
    воспользуемся тем что 
    cosfrac{pi}{7}=-cosfrac{6pi}{7}
    разложим левую часть в такой вид 
    cosfrac{pi}{7}=sin^6frac{pi}{7}-cos^6frac{pi}{7}
+15sin^2frac{pi}{7}*cos^4frac{pi}{7}-15sin^4frac{pi}{7}*cos^2frac{pi}{7}
    преобразуем его в такой вид 
    cosfrac{pi}{7}=(1-cos^2frac{pi}{7})^3-cos^6frac{pi}{7}+15(1-cos^2frac{pi}{7})*cos^4frac{pi}{7}-15(1-cos^2frac{pi}{7})^2*cos^2frac{pi}{7}
    теперь положим  cosfrac{pi}{7}=x получим уравнение 
    (1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=\
    она равна   
    (1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\
8x^3-4x^2-4x+1=0
    теперь корни это кубического уравнения будут числа 
    -cosfrac{4pi}{7} 
    cosfrac{pi}{7}\
    cosfrac{5pi}{7}
    и как ранее было сказано достаточно поделить  
    cosfrac{pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}=frac{1}{8}