profile
Опубликовано 11 месяцев назад по предмету Геометрия от TME99

срочно нужна помощь. в трапеции две диагонали равны 3 и 5 , а линия соединяющее середины двух основание ровно 2. найти площадь трапеции. (74 баллы).


  1. Ответ
    Ответ дан cos20093
    Трапеция ABCD; AD II BC; AC = 3; BD = 5; 
    Пусть CE II BD; E лежит на продолжении AD;
    Площадь треугольника ACE равна площади трапеции,
    так как DE = BC; => AE = AD + BC; и у них общая высота, которая равна расстоянию от точки C до прямой AD.
    Еще раз - у треугольника и трапеции одинаковые средние линии AE/2 = (AD + BC)/2 и общая высота. Площадь равна произведению средней линии на высоту и у треугольника и у трапеции.
    Далее, если M - середина BC, N - середина AD, K - середина AE; 
    то MC = NK; потому что NK = AE/2 - AD/2 = BC/2; 
    => MCKN - параллелограмм, и MN = CK;
    => в треугольнике ACE (площадь которого надо найти по условию задачи) медиана CK = 2; а стороны AC = 3; CE = 5;
    Если теперь продлить CK за точку K на "свою" длину 2 - пусть это точка P;
    то ACEP - тоже параллелограмм, потому что его диагонали AE и CP делятся пополам в точке пересечения K. 
    Площадь треугольника ACE (и следовательно, площадь трапеции ABCD) равна половине площади этого параллелограмма.
    Также и треугольник ACP имеет такую же площадь (любая из диагоналей делит параллелограмм на два равных треугольника).
    У треугольника ACP стороны AC = 3; CP = 4; AP = 5; то есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 3*4/2 = 6;
    1. Ответ
      Ответ дан cos20093
      И насчет краткости. Мое решение записывать долго. А вот в голове оно возникает сразу, и целиком. Бывают задачи более сложные, где надо применить два, три или больше таких вот "ходов". Но это всегда - объектный метод, который с помощью формул каких-то решать на много сложнее.
    2. Ответ
      Ответ дан TME99
      согласен.
    3. Ответ
      Ответ дан cos20093
      Кстати, встречаются задачи, которые алгебраически решить легче, хотя геометрическое решение есть. Вот задача Штейнера - что если две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный. Алгебраическое доказательство известно, оно не то чтобы элементарное, но в общем не сложное. Записывается разность длин биссектрис, выраженных через стороны, группируется, и получается произведение разности двух сторон на заведомо положительную величину. А найти геометрическое решение - это оооочень непростое дело.
    4. Ответ
      Ответ дан TME99
      http://znanija.com/task/13511801
    5. Ответ
      Ответ дан TME99
      http://znanija.com/task/14020045