Опубликовано 5 лет назад по предмету Геометрия от Аккаунт удален

Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = 2. Найдите площадь поверхности пирамиды и ее объем

Ответ

Ответ дан strc

Дано: AD=DM=2, MABCD-пирамида, ABCD - квадрат

Найти: S(поверхности)-?, V-?

Решение:

Для начала найдем объем. Общая формула V=1/3*S*h

h - высота, и это у нас DM, как видно на рисунке

S - площадь основания. площадь квадрата a^2, т.е. в нашем случае AD^2

$V=frac{1}{3}Sh=frac{1}{3}AD^2*DM\ AD=DM\ V=frac{1}{3}AD^3=frac{1}{3}2^3=frac{8}{3}=2frac{2}{3}$

С площадью поверхности все сложнее

Она складывается из площади основания, площади треуг. MAB, площади треуг. MBC, площади треуг. MCD и площади треуг. MDA.

$S=S_{ABCD}+S_{MAB}+S_{MBC}+S_{MCD}+S_{MDA}$

при этом заметим, что треугольники MDA и MCD равны, а также треугольнки MAB и MBC тоже равны, поэтому:

$S=S_{ABCD}+2S_{MBA}+2S_{MDA}$

площадь основания, как и говорилось раньше, находится легко:

$S_{ABCD}=AD^2=2^2=4$

площадь треугольника MAB тоже довольно легко находится.

т.к. DM перпендикулярен DC, то и MA перпендикулярен AB

Это прямоугольный треугольник

Найдем AM, а затем сможем найти и площадь MBA

$MA=sqrt{2AD^2}=ADsqrt2=2sqrt2$

Площадь треугольника MBA

$S_{MBA}=frac{MA*AB}{2}=frac{2sqrt2*2}{2}=2sqrt2$

Площадь треугольника MDA находится ещё легче, прямоугольный теругольник, два катета известно:

$S_{MDA}=frac{AD*DM}{2}=frac{2*2}{2}=2$

$S=S_{ABCD}+2S_{MBA}+2S_{MDA}=2+2*2sqrt2+2*2=6+4sqrt2$

Ответ: 6+4√2