АГиЛА
Заданы точки A(-1,-3,2) B(-1,3,2) C(-2,1,3) D(0,-2,-1)

5) Для составления уравнения плоскости АВС используем формулу:

x - x1  y - y1  z - z1  = 0

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - (-1)  y - (-3)  z - 2  = 0

(-1) - (-1)  3 - (-3)  2 - 2

(-2) - (-1)  1 - (-3)  3 - 2

x - (-1)  y - (-3)  z - 2  = 0

0  6  0

-1  4  1

(x - (-1))( 6·1 -0·4 ) - (y -(-3) )(0·1 -0·(-1)) + (z -2)( 0·4- 6·(-1)) = 0

6(x - (-1)) +0(y -(-3)) + 6(z - 2) = 0

6x + 6z - 6 = 0  или, сократив на 6, получим уравнение

АВС: x +  z - 1  = 0.

Аналогично определяем уравнение плоскости АВД.

x - (-1)  y - (-3)  z - 2  = 0

(-1) - (-1)  3 - (-3)  2 - 2

0 - (-1)  (-2) - (-3)  (-1) - 2

x - (-1)  y - (-3)  z - 2  = 0

0  6  0

1  1  -3

(x -(-1))(6 ·(-3) -0·1) - (y - (-3))( 0·(-3)-0·1) + (z -2)(0 ·1-6 ·1) = 0

(-18) (x - (-1)) + 0(y - (-3)) + (-6) (z -  2) = 0

 - 18 x - 6 z - 6  = 0  или, сократив на 6, получаем уравнение

АВД: -3x - z - 1 = 0.

Вычислим угол между плоскостями  

x + z - 1 = 0 и  - 3x - z - 1 = 0

cos α =   |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²).)  

cos α =   |1·(-3) + 0·0 + 1·(-1)| /(√(1² + 0² + 1²)*√((-3)² + 0² + (-1)²))  =

=   |(-3) + 0 + (-1)| /(√(1 + 0 + 1)*√(9 + 0 + 1))  =

=   4 /(√2*√10)  =   4 /√20  =   2√5 /5  ≈ 0.894427.

α = 26.56505°.

9) Находим координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

xM = (-1-1-2)/3 = -4/3.

yM = (-3+3+1)/3 = 1/3.

zM = (2+2+3)/3 = 7/3.

Уравнение ДМ: (x + (4/3))/(4/3) = (y - (1/3))/(-7/3) = (z - (7/3))/(-10/3).

Приведём подобные и упростим.

(3x + 4)/4 = (3y - 1)/(-7) = (3z - 7)/(-10) = t.

Отсюда получаем параметрические уравнения прямой ДМ:

x = (4/3)t - (4/3),

y = (-7/3)t + (1/3),

z = (-10/3)t + (7/3).