Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см. и высотой 8 см. описан шар. Найдите радиус шара

Проводим сечение пирамиды через боковое ребро и высоту. По соображениям симметрии это центральное сечение, и у нам надо найти на высоте АЕ Точку О, равно удаленную от В и А.

см чертеж, АЕ - это высота пирамиды, Е - проекция вершины пирамиды на основание, то есть ВЕ - радиус окружности, ОПИСАННОЙ вокруг основания пирамиды. В основании лежит правильный треугольник со стороной 6, то есть

ВЕ = (2/3)*6*корень(3)/2 = корень(12); АВ = корень(78);

На чертеже представлен сопособ простого вычисления R - АЕ продливается до окружности и К соединяется с В, получется подобный АВЕ треугольник с гипотенузой 2*R и катетом АЕ.

2*R = AB^2/AE = 78/8 = 39/4; R = 39/8; мда....

Теперь задача в обсуждении - там надо провести сечениие через высоту пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получится равнобедренный треугольник с высотой 5 и радиусом вписанной окружности 1 (это радиус шара).

Рассматриваем 2 треугольника - один  - это просто "левая половина" всего треугольника сечения, то есть прямоугольный треугольник, составленный боковой стороной, половиной основания и высотой. У второго вершины - центр вписанной окружности, точка касания с боковой стороной и вершина пирамиды. У этого второго треугольника гипотенуза 4 (5 - 1 = 4), и один из катетов 1, поэтому второй - корень(15); у первого один из катетов - это половина стороны основания пирамиды, а второй - высота пирамиды 5. То есть

(a/2)/5 = 1/ корень(15); a = 10/ корень(15); V = a^2*H/3 = (100/15)*5/3 = 100/9