в наклонной призме стороны основания равны 4 см, 13см и 15см.Боковое ребро равно 10 корней из 2 см и наклонная к плоскости основания под углом 45 градусов.Вычислите объем призмы?

Высота призмы равна 10 (высота, ребро призмы и проекция ребра на основание образуют равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 10*корень(2)).

Осталось вычислить площадь основания, то есть найти площадь треугольника со сторонами 4, 13 и 15. 

Это, конечно же, можно сделать по формуле Герона. Так сказать - тупой способ. Надо только не забывать,что в формуле Герона р - ПОЛУпериметр, то есть для этого треугольника

р = 16, p - a = 12, p - b = 3, p - c = 1,

S^2 = 16*12*3*1 = 16*36,

S = 24.

Отсюда Объем призмы V = 240 куб.см.

Однако, площадь можно вычислить и гораздо проще, если кое о чем удачно догадаться. Если провести высоту из вершины, общей для сторон 13 и 15 на продолжение стороны 4, то МОЖНО увидеть 2 египетских треугольника, один со сторонами 9, 12, 15 и другой - со сторонами 5, 12, 13. Заданный треугольник является "разностью" этих треугольников (9 - 5 = 4, а 12 - общая высота).

Отсюда S = 4*12/2 = 24.