В одном селе живут 100 детей, а во втором — 200. Где надо построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых детьми от сёл к школе (напрямую), была наименьшей? б) (5 баллов) А если есть ещё третье село, где живут 300 детей (сёла образуют треугольник)?

1) Просто. Примем расстояние между селами за 1.
Пусть школа будет на расстоянии x от 1 села и 1-x от 2 села.
Ясно, что 0<=x<=1.
Тогда надо найти минимум функции
y=100x+200(1-x)=200-100x.
Минимум функции будет при наибольшем x=1.
Школу надо ставить во 2 селе.
Тогда суммарное расстояние будет y=200-100=100.
Самое интересное, что если в обоих селах детей одинаково, то школу можно ставить в любом месте.
2) Намного сложнее. Зависит от формы треугольника.
В древности эту задачу решали так.
Брали фанеру, рисовали на ней треугольник в масштабе. Главное, чтобы стороны были пропорциональны расстояниям между селами.
Потом в селах (в углах) сверлили дырки.
Брали три веревки и связывали над столом в один узел.
Концы веревок опускали в дырки и привязывали грузы, пропорционально количеству жителей.
В данном случае 100, 200 и 300 грамм.
В результате узел скользил по столу и где-то останавливался, в центре тяжести.
Вот где узел остановился - там и надо ставить школу.
Если во всех 3 селах детей одинаково, то центр тяжести находится в точке пересечения медиан.
Если в каком-то селе детей больше, то сдвигается в сторону этого угла.