Найдите углы треугольника ABC, если A(−1; √3), B(1; −√3), C(1/2; √3).

Длины сторон треугольника
AB = √((-1-1)² + (√3+√3)²) = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 4*3) = √16 = 4
AC = √((-1-1/2)² + (√3-√3)²) = √((3/2)²) = 3/2
BC = √((1-1/2)² + (-√3-√3)²) = √((1/2)² + (2√3)²) = √(1/4 + 4*3) = √(1/4 + 12) = √(49/4) = 7/2
Углы треугольника 4, 3/2, 7/2 точно такие же, как у подобного ему треугольника со сторонами 8, 3, 7. только считать будет проще
Теорема косинусов для малой стороны
3² = 8² + 7² - 2*7*8*cos(α)
2*7*8*cos(α) = 8² + 7² - 3²
cos(α) = (8² + 7² - 3²)/(2*7*8) = (64 + 49 - 9)/112 = 104/112 = 26/28 = 13/14
α = arccos(13/14)
Теорема косинусов для средней стороны
cos(β) = (8² + 3² - 7²)/(2*3*8) = (64 + 9 - 49)/48 = 24/48 = 1/2
β = arccos(1/2) = 60°
третий угол можно найти из условия равенства суммы углов 180°.
Но можно и по теореме косинусов
cos(γ) = (3² + 7² - 8²)/(2*7*3) = (9 + 49 - 64)/42 = -6/42 = -1/7
γ = arccos(-1/7)