Дано:
PRQ принадлежат прямой a
RP=2,1
QR=в. 3р. больше чем RP
PQ=8,4
Докажите что точька R лежит между точками P и Q

с этим.

Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим

P=AB’(A’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=l(l’. Действительно, применим П5 к треугольникам

AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.

Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’

Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC =

A’’B’’C’’ = A’B’C’

Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’(A’B(l’’.

Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’(A’C(l’’.

Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2

(п.3.7) для построения второго проективного отображения l = l’’ = l’

Пусть теперь D(l – произвольная точка; определим D’’=R’D(l’’и D’=RD’’(l’.

Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’(A"D,

A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’(A’D(l’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.

Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A",B",C" удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

О С C’

B S A и заключим отсюда, что точки T=OS(BC, U=OA(BC’, Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам O B B’

C’ A’ S и заключим отсюда, что точки U,V=OS(B’C’, P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам B C’ U

V T S и заключим отсюда, что точки R, P=BS(UV (шаг2),Q=C’S(TU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l(l’, есть перспективное отображение ( точка пересечения X=l(l’ переходит в себя.