найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,если ее апофема равна L ,а боковая грань образует с плоскостью основания угол альфа .

Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).

Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:

SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.

Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.

Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.

Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.

V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как

2Sinα*Cosα = Sin2α).

Ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.